拉普拉斯方程

Laplace’s equation
属于椭圆方程，又称调和方程、位势方程，是一种偏微分方程

拉普拉斯方程通常表示为：

\nabla^{2} u = 0

二维拉普拉斯方程实例：

\nabla^{2} φ = \frac{\partial^{2} φ}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} φ}{\partial y^{2}} = 0

在不同的坐标系下，拉普拉斯算符的表达式不同

笛卡尔坐标系 Cartesian Coordinates:

\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}} = 0

柱坐标系 Cylindrical Coordinates:

\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r \frac{\partial u}{\partial r}) + \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} u}{\partial ϕ^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}} = 0

球坐标系 Spherical Coordinates:

\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} \frac{\partial u}{\partial r}) + \frac{1}{r^{2} \sin θ} \frac{\partial}{\partial θ} (\sin θ \frac{\partial u}{\partial θ}) + \frac{1}{r^{2} \sin^{2} θ} \frac{\partial^{2} u}{\partial ϕ^{2}} = 0

拉普拉斯方程的解被称为调和函数 Harmonic Function。调和函数在没有源或汇的区域内，其值在某一点等于其周围点的平均值。这反映了物理量在稳态下的平衡分布。

叠加原理 Superposition Principle: 拉普拉斯方程是线性的，因此其解满足叠加原理。任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。

最大值原理 Maximum Principle: 调和函数在其定义域的内部不能取得最大值或最小值，除非它是常数函数。最大值和最小值只能在边界上取得。

解析性 Analyticity: 调和函数是解析函数，这意味着它们可以被表示为幂级数 Power Series。

拉普拉斯方程的求解通常需要结合边界条件 Boundary Conditions。常用的求解方法包括：

分离变量法 Separation of Variables: 将偏微分方程分解为多个常微分方程。
傅里叶级数 Fourier Series** 和傅里叶变换 Fourier Transform: 用于求解具有周期性边界条件的问题。
格林函数法 Green's Function Method: 用于求解非齐次方程或具有点源的问题。
数值方法 Numerical Methods: 如有限差分法 Finite Difference Method 和有限元法 Finite Element Method。

拉普拉斯方程在物理学、工程学、计算机科学等领域有广泛应用：